Ошибаетесь.
Вы подаете заявление на новый паспорт и всё, а вот когда вы приходите ПОЛУЧАТЬ паспорт - то уже либо сдаете его, либо оставляете на память, но в нем вырезают номер с титульной страницы и ставят штамп об аннуляции.
Пример:
Если у человека стоит годовая виза (например штаты), а паспорт действует всего 8 месяцев - визу переделывать не нужно. На паспортном контроле в США просто предъявляете 2 паспорта. Один с визой аннулят и второй рабочий. Проблем нет